1 Descripción de la actividad
En la presente actividad se han trabajado los métodos de Muller y Ridders para la resolución de ecuaciones. Dichos métodos son numéricos y utilizan la interpolación cuadrática y exponencial, respectivamente, para posibilitar la resolución de la ecuación siguiente:
Se evaluará la rapidez de los métodos en base a las iteraciones que realizan hasta llegar a la solución con una precisión de
unidades. Se exponen a continuación los parámetros necesarios para que los métodos realicen correctamente la tarea encomendada.
1.1 Método de Muller
El método de Muller pretende interpolar la función a una parábola en un entorno localizado de una función
. Dados dos puntos extremos y su punto medio, es posible obtener una parábola que se acerque a la función. Encontrando las soluciones a la anulación de la parábola conseguimos una aproximación. En función de en qué subintervalo se encuentre la solución, se escoge para conseguir acotar más la solución. El método converge, pero de manera lenta.
1.2 Método de Ridders
El método de Ridders pretende aproximar la función a una exponencial a la que se le aplica el método regula falsi. Con cuatro puntos obtenemos una aproximación correcta de la solución a nuestra función.
Así pues, se han creado dos funciones en C++ llamadas muller y ridders para implementar dichos métodos. Han de recibir como argumentos el extremo inferior, el extremo superior y el número de iteraciones que se realizarán.
3 Resultados
Los resultados de la implementación son los siguientes:
3.1 Método de Muller
El método de Muller obtiene los resultados siguientes por iteración:
Muller 1: 0.349278
Muller 2: 0.362391
Muller 3: 0.362119
Muller 4: 0.362119
Se obtiene el resultado correcto con 4 iteraciones.
3.2 Método de Ridders
El método de Ridders consigue una precisión de
unidades con necesidad de pocas iteraciones. En concreto, los resultados son estos:
Ridders 1: 0.334200
Ridders 2: 0.350235
Ridders 3: 0.356890
Ridders 4: 0.359785
Ridders 5: 0.361070
Ridders 6: 0.361647
Ridders 7: 0.361906
Ridders 8: 0.362023
Ridders 9: 0.362076
Ridders 10: 0.362100
Ridders 11: 0.362110
Ridders 12: 0.362115
Ridders 13: 0.362118
Como se ve, no se llega al número deseado, pero se obtienen unos resultados buenos, con precisión hasta el quinto decimal.
3.3 Comparación con métodos conocidos
3.3.1 Regula Falsi
El método regula falsi converge con cierta rapidez como demuestran los siguientes resultados.
RF 1: 0.578050
RF 2: 0.401083
RF 3: 0.367668
RF 4: 0.362875
RF 5: 0.362222
RF 6: 0.362133
RF 7: 0.362121
RF 8: 0.362120
RF 9: 0.362119
RF 10: 0.362119
RF 11: 0.362119
RF 12: 0.362119
RF 13: 0.362119
RF 14: 0.362119
RF 15: 0.362119
RF 16: 0.362119
RF 17: 0.362119
Pasadas 17 iteraciones se obtiene el número esperado.
3.3.2 Bisección
El método de la bisección es bastante lento en comparación con los anteriores, obteniendo los siguientes resultados:
Bisección 1: 0.500000
Bisección 2: 0.250000
Bisección 3: 0.375000
Bisección 4: 0.312500
Bisección 5: 0.343750
Bisección 6: 0.359375
Bisección 7: 0.367188
Bisección 8: 0.363281
Bisección 9: 0.361328
Bisección 10: 0.362305
Bisección 11: 0.361816
Bisección 12: 0.362061
Bisección 13: 0.362183
Bisección 14: 0.362122
Bisección 15: 0.362091
Bisección 16: 0.362106
Bisección 17: 0.362114
Bisección 18: 0.362118
Bisección 19: 0.362120
Bisección 20: 0.362119
Pasadas 20 iteraciones se consigue el número buscado.
3.3.3 Método de Newton-Raphson
El método de Newton-Raphson es muy rápido:
Newton 1: 0.333333
Newton 2: 0.361670
Newton 3: 0.362119
Se consigue el número con 3 iteraciones.
4 Conclusiones.
A la vista de los resultados obtenidos, establecemos la siguiente clasificación en los métodos.
- Método de Newton-Raphson, con 3 iteraciones.
- Método de Muller, con 4.
- Método de Ridders, con 13 iteraciones, aunque con imprecisión.
- Método Regula Falsi, con 17 iteraciones.
- Método de la Bisección, con 20 iteraciones.
Así, destacan los métodos estudiados por conseguir rápidamente los ceros de la función
1. En otro orden de cuestiones, los códigos han necesitado de 37 líneas para Newton-Raphson, 41 para Muller y 43 para Ridders. Se comparan solo estos por estar hechos con el mismo estilo entre sí, sin comentarios ni líneas en blanco que modifican el recuento, como es evidente. Se confirman así dichos métodos como buenos en lo que a eficiencia respecta, consiguiendo buenos resultados en poco tiempo y con relativamente poca carga computacional.