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\begin_layout Title
Ejercicios sobre ondas electromagnéticas.
\end_layout

\begin_layout Author
Jesús María Mora Mur
\end_layout

\begin_layout Date
\begin_inset Info
type  "date"
arg   "loclong"
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Primer ejercicio
\end_layout

\begin_layout Standard
Comprobaremos en primer lugar,
 que 
\begin_inset Formula $\nabla\times\vec{E}=\vec{0}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\nabla\times\vec{E}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\nicefrac{\partial}{\partial x} & \nicefrac{\partial}{\partial y} & \nicefrac{\partial}{\partial z}\\
2xy-z^{3} & x^{2} & -3xz^{2}
\end{vmatrix}=\vec{0}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Comprobaremos también que el campo magnético es solenoidal,
 es decir que 
\begin_inset Formula $\nabla\bullet\vec{B}=0$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\nabla\bullet\vec{B}=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\bullet\left(2xy,-y^{2},1\right)=2y-2y=0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por lo que vemos que los campos 
\begin_inset Formula $\vec{E}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\vec{B}$
\end_inset

 son estáticos.
 Para calcular la densidad volumétrica recurrimos a la 
\emph on
Ley de Gauss
\emph default
 en su forma diferencial:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\nabla\bullet\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Calculando la divergencia obtenemos que:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\nabla\bullet\vec{E}=2y-6z
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Igualando,
 obtenemos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\rho=2\epsilon_{0}\cdot\left(y-3z\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para calcular 
\begin_inset Formula $\vec{J}$
\end_inset

,
 seguimos la 
\emph on
Ley de Ampère
\emph default
,
 donde 
\begin_inset Formula $\vec{H}=\frac{1}{\mu}\vec{B}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\nabla\times\vec{H}=\vec{J}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\vec{J}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\nicefrac{\partial}{\partial x} & \nicefrac{\partial}{\partial y} & \nicefrac{\partial}{\partial z}\\
\frac{2xy}{\mu_{0}} & \frac{-y^{2}}{\mu_{0}} & \frac{1}{\mu_{0}}
\end{vmatrix}=-\frac{2x}{\mu_{0}}\hat{k}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Segundo ejercicio
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Verdadero
\emph default
.
 La corriente de conducción se mide en amperios,
 al igual que la de desplazamiento.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Verdadero
\emph default
.
 Sabemos que la corriente de desplazamiento es directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo eléctrico a lo largo del tiempo en una región definida.
 Si el flujo cambia,
 el campo ha de modificarse.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Falso
\emph default
.
 Las ecuaciones de Maxwell pueden adaptarse a campos no estáticos.
 En concreto,
 la Ley de Gauss:
\begin_inset Formula 
\[
\nabla\bullet\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
\]

\end_inset

 sigue siendo válida,
 así como:
\begin_inset Formula 
\[
\nabla\bullet\vec{H}=0
\]

\end_inset

 al no existir fuentes o sumideros magnéticos.
 Por otro lado,
 las ecuaciones que implican a los rotacionales varían añadiendo términos diferenciales que definen el dinamismo de los campos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Verdadero
\emph default
.
 Mediante la ley de Ampère-Maxwell se predice la existencia de ondas electromagnéticas y puede obtenerse su ecuación.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Verdadero
\emph default
.
 Las ondas electromagnéticas son transversales al ser la dirección de propagación perpendicular a la oscilación de 
\begin_inset Formula $\vec{B}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\vec{E}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Tercer ejercicio
\end_layout

\begin_layout Standard
Viendo la ecuación,
 tenemos que:
\end_layout

\begin_layout Itemize
La frecuencia de la onda es 
\begin_inset Formula $2\pi\cdot10^{6}\:\mathrm{hz}$
\end_inset

,
 al multiplicar al tiempo.
\end_layout

\begin_layout Itemize
El número de onda es 
\begin_inset Formula $\nicefrac{\pi}{2}$
\end_inset

,
 al multiplicar a la coordenada de propagación 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Esta onda se propaga en el sentido positivo del eje,
 por llevar delante de 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 un signo negativo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por otro lado,
 calculamos la impedancia de la onda mediante la siguiente relación:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
Z=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}}=376.7\:\Omega
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para calcular el campo magnético,
 sabemos que:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\vec{B}=\vec{E}\cdot\sqrt{\mu_{0}\cdot\epsilon_{0}}=\sqrt{\mu_{0}\cdot\epsilon_{0}}\cdot60\pi\cos\left(2\pi\cdot10^{6}t-\frac{\pi}{2}z\right)\vec{a_{x}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

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