Ejercicios sobre ondas electromagnéticas.

1 Primer ejercicio

Comprobaremos en primer lugar, que

\nabla \times \vec{E} = \vec{0}

\nabla \times \vec{E} = | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2 x y - z^{3} & x^{2} & - 3 x z^{2} \end{matrix} | = \vec{0}

Comprobaremos también que el campo magnético es solenoidal, es decir que

\nabla • \vec{B} = 0

\nabla • \vec{B} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) • (2 x y, - y^{2}, 1) = 2 y - 2 y = 0

Por lo que vemos que los campos

\vec{E}

\vec{B}

son estáticos. Para calcular la densidad volumétrica recurrimos a la Ley de Gauss en su forma diferencial:

\nabla • \vec{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

Calculando la divergencia obtenemos que:

\nabla • \vec{E} = 2 y - 6 z

Igualando, obtenemos:

ρ = 2 ϵ_{0} \cdot (y - 3 z)

Para calcular

\vec{J}

, seguimos la Ley de Ampère, donde

\vec{H} = \frac{1}{μ} \vec{B}

\nabla \times \vec{H} = \vec{J}

\vec{J} = | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{2 x y}{μ_{0}} & \frac{- y^{2}}{μ_{0}} & \frac{1}{μ_{0}} \end{matrix} | = - \frac{2 x}{μ_{0}} \hat{k}

Verdadero. La corriente de conducción se mide en amperios, al igual que la de desplazamiento.
Verdadero. Sabemos que la corriente de desplazamiento es directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo eléctrico a lo largo del tiempo en una región definida. Si el flujo cambia, el campo ha de modificarse.
Falso. Las ecuaciones de Maxwell pueden adaptarse a campos no estáticos. En concreto, la Ley de Gauss: $\nabla • \vec{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}}$ sigue siendo válida, así como: $\nabla • \vec{H} = 0$ al no existir fuentes o sumideros magnéticos. Por otro lado, las ecuaciones que implican a los rotacionales varían añadiendo términos diferenciales que definen el dinamismo de los campos.
Verdadero. Mediante la ley de Ampère-Maxwell se predice la existencia de ondas electromagnéticas y puede obtenerse su ecuación.
Verdadero. Las ondas electromagnéticas son transversales al ser la dirección de propagación perpendicular a la oscilación de $\vec{B}$ y $\vec{E}$ .

Viendo la ecuación, tenemos que:

La frecuencia de la onda es $2 π \cdot 1 0^{6} h z$ , al multiplicar al tiempo.
El número de onda es $\frac{π}{2}$ , al multiplicar a la coordenada de propagación $z$ .
Esta onda se propaga en el sentido positivo del eje, por llevar delante de $z$ un signo negativo.

Por otro lado, calculamos la impedancia de la onda mediante la siguiente relación:

Z = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} = 376.7 Ω

Para calcular el campo magnético, sabemos que:

\vec{B} = \vec{E} \cdot \sqrt{μ_{0} \cdot ϵ_{0}} = \sqrt{μ_{0} \cdot ϵ_{0}} \cdot 60 π cos (2 π \cdot 1 0^{6} t - \frac{π}{2} z) \vec{a_{x}}