Ejercicios sobre ondas electromagnéticas.
Jesús María Mora Mur
2026-04-19
Primer ejercicio
Comprobaremos en primer lugar, que
\nabla\times\vec{E}=\vec{0}
∇
×
E
→
=
0
→
:
\nabla\times\vec{E}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\nicefrac{\partial}{\partial x} & \nicefrac{\partial}{\partial y} & \nicefrac{\partial}{\partial z}\\
2xy-z^{3} & x^{2} & -3xz^{2}
\end{vmatrix}=\vec{0}
∇
×
E
→
=
|
i
ˆ
j
ˆ
k
ˆ
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
2
x
y
-
z
3
x
2
-
3
x
z
2
|
=
0
→
Comprobaremos también que el campo magnético es solenoidal, es decir que
\nabla\bullet\vec{B}=0
∇
•
B
→
=
0
:
\nabla\bullet\vec{B}=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\bullet\left(2xy,-y^{2},1\right)=2y-2y=0
∇
•
B
→
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
•
(
2
x
y
,
-
y
2
,
1
)
=
2
y
-
2
y
=
0
Por lo que vemos que los campos
\vec{E}
E
→
y
\vec{B}
B
→
son estáticos. Para calcular la densidad volumétrica recurrimos a la Ley de Gauss en su forma diferencial:
\nabla\bullet\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
∇
•
E
→
=
ρ
ϵ
0
Calculando la divergencia obtenemos que:
\nabla\bullet\vec{E}=2y-6z
∇
•
E
→
=
2
y
-
6
z
Igualando, obtenemos:
\rho=2\epsilon_{0}\cdot\left(y-3z\right)
ρ
=
2
ϵ
0
⋅
(
y
-
3
z
)
Para calcular
\vec{J}
J
→
, seguimos la Ley de Ampère, donde
\vec{H}=\frac{1}{\mu}\vec{B}
H
→
=
1
μ
B
→
:
\nabla\times\vec{H}=\vec{J}
∇
×
H
→
=
J
→
\vec{J}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\nicefrac{\partial}{\partial x} & \nicefrac{\partial}{\partial y} & \nicefrac{\partial}{\partial z}\\
\frac{2xy}{\mu_{0}} & \frac{-y^{2}}{\mu_{0}} & \frac{1}{\mu_{0}}
\end{vmatrix}=-\frac{2x}{\mu_{0}}\hat{k}
J
→
=
|
i
ˆ
j
ˆ
k
ˆ
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
2
x
y
μ
0
-
y
2
μ
0
1
μ
0
|
=
-
2
x
μ
0
k
ˆ
Segundo ejercicio
Verdadero. La corriente de conducción se mide en amperios, al igual que la de desplazamiento.
Verdadero. Sabemos que la corriente de desplazamiento es directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo eléctrico a lo largo del tiempo en una región definida. Si el flujo cambia, el campo ha de modificarse.
Falso. Las ecuaciones de Maxwell pueden adaptarse a campos no estáticos. En concreto, la Ley de Gauss:
\nabla\bullet\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
∇
•
E
→
=
ρ
ϵ
0
sigue siendo válida, así como:
\nabla\bullet\vec{H}=0
∇
•
H
→
=
0
al no existir fuentes o sumideros magnéticos. Por otro lado, las ecuaciones que implican a los rotacionales varían añadiendo términos diferenciales que definen el dinamismo de los campos.
Verdadero. Mediante la ley de Ampère-Maxwell se predice la existencia de ondas electromagnéticas y puede obtenerse su ecuación.
Verdadero. Las ondas electromagnéticas son transversales al ser la dirección de propagación perpendicular a la oscilación de
\vec{B}
B
→
y
\vec{E}
E
→
.
Tercer ejercicio
Viendo la ecuación, tenemos que:
La frecuencia de la onda es
2\pi\cdot10^{6}\:\mathrm{hz}
2
π
⋅
1
0
6
h
z
, al multiplicar al tiempo.
El número de onda es
\nicefrac{\pi}{2}
π
2
, al multiplicar a la coordenada de propagación
z
z
.
Esta onda se propaga en el sentido positivo del eje, por llevar delante de
z
z
un signo negativo.
Por otro lado, calculamos la impedancia de la onda mediante la siguiente relación:
Z=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}}=376.7\:\Omega
Z
=
μ
0
ϵ
0
=
376.7
Ω
Para calcular el campo magnético, sabemos que:
\vec{B}=\vec{E}\cdot\sqrt{\mu_{0}\cdot\epsilon_{0}}=\sqrt{\mu_{0}\cdot\epsilon_{0}}\cdot60\pi\cos\left(2\pi\cdot10^{6}t-\frac{\pi}{2}z\right)\vec{a_{x}}
B
→
=
E
→
⋅
μ
0
⋅
ϵ
0
=
μ
0
⋅
ϵ
0
⋅
60
π
cos
(
2
π
⋅
1
0
6
t
-
π
2
z
)
a
x
→