Para determinar la longitud de la tubería, debemos empezar por conocer las oscilaciones de temperatura que tendremos en el emplazamiento. Para realizar esto, partimos de la fórmula:
\[ \mathrm{T}_{\mathrm{mínima}} = \mathrm{T}_{\mathrm{media}} - a \cdot \mathrm{e}^{-x \cdot \sqrt{\frac{\pi}{365\cdot \alpha}}} \]donde $\mathrm{T_media}$ refiere la temperatura media del emplazamiento, $a$, la amplitud térmica, $x$ la profundidad de sondeo y $\alpha$ la difusividad del suelo. Aplicando esto obtenemos que $\mathrm{T_{mínima}} \approx 11.40 \: \degree \mathrm{C}$, dentro del rango de operaciones de nuestra bomba de calor.
Utilizaremos la siguiente fórmula para conocer la temperatura de salida del fluido de la bomba:
\[ \mathrm{T_s} = \mathrm{T_e}-\frac{1000 \cdot \mathrm{P_c} \cdot \frac{\mathrm{COP} - 1}{\mathrm{COP}}}{\mathrm{C_p} \cdot \frac{\mathrm{Q}}{3600}} \]Donde $\mathrm{Q}$ es el caudal, $\mathrm{P_c}$ la potencia de la bomba, $\mathrm{C_p}$ el calor específico de la salmuera, fijado en $\unitfrac[3729]{J}{K \cdot kg}$ y $\mathrm{Q}$ es el caudal de la máquina. Obtenemos una temperatura de salida del agua de $5.66\: \degree \mathrm{C}$, considerando que entra a la temperatura mínima.
Ello nos permite considerar que la temperatura media del circuito es:
\[ \mathrm{T_{circuito}} \approx 8.53 \: \degree \mathrm{C} \]Para ello utilizamos la ecuación siguiente:
\[ \mathrm{R_p} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \mathrm{K_p}} \cdot \ln{\frac{\mathrm{D_0}}{\mathrm{D_1}}} \]Donde $\mathrm{K_p}$ es la conductividad térmica del material que se ha considerado $\unitfrac[0.39]{W}{m\cdot \degree C}$, $\mathrm{D_0}$ y $\mathrm{D_1}$ son los radios interior y exterior del tubo. Obtenemos una resistencia de aproximadamente $\unitfrac[0.024]{m \cdot W}{\degree C}$
Se utiliza la ecuación siguiente:
\[ \mathrm{R_s} = \frac{1}{4\pi \lambda} \cdot \mathrm{Ei}\left(\frac{-r^2}{4\alpha t}\right) \]Donde $\mathrm{Ei}(x)$ representa la integral exponencial. De acuerdo con Carslaw y Jaeger (1959) y Abramowitz y Stegun (1964), obtenemos la expresión siguiente:
\[ \mathrm{R_s} = \frac{1}{4\pi \lambda} \cdot \left( \gamma + \ln \frac{r^2}{4\alpha t} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^n \cdot \frac{r^{2n}}{\left(4\alpha t\right)^n}}{n \cdot n!} \right) \]obteniendo un valor de $0.30435$. Por otro lado el factor de utilización es de $0.766$ aproximadamente. Para obtener el valor de la integral exponencial se ha calculado numéricamente con el código de C siguiente:
#include < stdio.h >
#include < math.h >
unsigned int factorial(unsigned int n){
unsigned int resultado = 1;
for (int i = 1; i<=n;i++){
resultado *= i;
}
return resultado;
}
int main(){
double radio = 0.09f;
double alpha = 0.88e-6 * 86400;
double tiempoUso = 100.0f;
double resultadoSuma = 0;
for (int n = 1; n<=15; n++){
double fracPeq = (pow(radio,2*n))/(pow((4*alpha*tiempoUso),n));
double signo = pow(-1, n);
double numerador = signo * fracPeq;
double denominador = n * factorial(n);
double fraccion = numerador / denominador;
resultadoSuma += fraccion;
printf("\nLa suma da: %lf",resultadoSuma);
}
double numeroPi = 2*acos(0.0);
double logaritmo = log(pow(radio,2)/(4*alpha*tiempoUso));
double gamma = 0.5772156f;
double resParentesis = gamma + logaritmo + resultadoSuma;
double lambda = 2.0f;
double coeficiente = 1/(4 * numeroPi * lambda);
double resistenciaCaptador = coeficiente * resParentesis;
printf("\nLa resistencia es: %lf", resistenciaCaptador);
return 0;
}
Aplicamos finalmente la siguiente fórmula para calcular la longitud de tubería que precisamos:
\[ \mathrm{L_{tubería}} = \frac{\mathrm{P_{inst}}\cdot \frac{\mathrm{COP - 1}}{\mathrm{COP}} \cdot \left(\mathrm{R_p} + \mathrm{R_s} \mathrm{F_{utilización}}\right)}{\mathrm{T_{mínima} - T_{salida}}} \]Donde $\mathrm{P_{inst}}$ es la demanda que se ha de cubrir. Obtenemos un valor de $1569.21 \: \mathrm{m}$, lo cual parece tener sentido considerando los ejemplos de la guía del IDAE (2012).
Abramowitz, M., Stegun, I. A. (1972). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Wiley.
Carslaw, H. S. and Jaeger, J. C. (1959). Conduction heat in solids. Oxford University Press.
Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía (coord.) (2012). Guía técnica de diseño de sistemas de intercambio geotérmico de circuito cerrado. Ministerio de Industria, Energía y Turismo. Gobierno de España.