Calcular el aumento de entropía de un foco térmico a la temperatura de 120 ºC que absorbe 5.4 cal de calor.
Por la definición de entropía, sabemos que:
\[ \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} \]Hemos de pasar, en primer lugar, las calorías a julios, sabiendo que $1 \: \text{cal} \equiv 4.184 \: \text{J}$. Así, se ha absorbido un calor de:
\[ Q = 5.4 \: \text{cal} \cdot 4.184 \: \frac{\text{J}}{\text{cal}} = 22.6 \: \text{J} \]Ahora, hemos de pasar los grados Celsius a Kelvin:
\[ 120 ºC \equiv 393.15 \: \text{K} \]Así pues, el aumento de entropía es:
\[ \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} = \frac{22.6 \: \text{J}}{393.15 \: \text{K}} = 5.7 \cdot 10^{-2} \: \frac{\text{J}}{\text{K}} \]Calcular el rendimiento de un ciclo de Carnot que funciona entre dos focos a las temperaturas de 300 ºC y 25 ºC
Sabemos que el rendimiento de un ciclo de Carnot viene regido por la ecuación:
\[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}\]Donde $T_1$ simboliza la temperatura del foco caliente y $T_2$ simboliza la temperatura del foco frío. Así, dicho rendmiento es:
\[\eta = \frac{\left(573.15 - 298.15\right) \: \text{K}}{573.15 \: \text{K}} \approx 0.48\]Calcular el calor absorbido en la primera etapa isoterma del ciclo de Carnot si la temperatura del foco caliente es de 200 ºC y un mol de gas ideal se expande hasta triplicar su volumen.
Como en una etapa isoterma sabemos que $\Delta U = 0$, el calor absorbido es igual al trabajo realizado, cuya expresión es:
\[ W = nRT_1 \cdot \ln{\frac{V_2}{V_1}} \]Así, el calor absorbido es:
\[ Q = 1 \: \text{mol}\cdot 8.314 \: \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot 473.15 \: \text{K} \cdot \ln{3} = 4321.69 \: \text{J} \]En un proceso adiabático un gas a una atmósfera de presión se expande de 4.3 L a 10 L. Calcular la presión final, sabiendo que $\gamma = \frac{5}{3}$.
Sabemos que en los procesos adiabáticos se cumple que:
\[ p \cdot V^{\gamma} = k \]Siendo $k$ constante. Así, tenemos que:
\[ p_0 \cdot V_{0}^{\gamma} = p_f \cdot V_{f}^{\gamma} \]Por tanto, la presión final será:
\[ p_f = p_0 \cdot \left(\frac{V_0}{V_f}\right)^{\gamma} = 1 \: \text{atm} \cdot \left(\frac{4.3 \: \text{L}}{10 \: \text{L}}\right)^{\frac{5}{3}} = 0.25 \: \text{atm} \]Calcular la variación de entropía de un foco térmico si cede 5.6 cal de calor a la temperatura de 100 ºC
Por la definición de entropía, sabemos que:
\[ \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} \]Hemos de pasar, en primer lugar, las calorías a julios, sabiendo que $1 \: \text{cal} \equiv 4.184 \: \text{J}$. Así, se ha absorbido un calor de:
\[ Q = -5.6 \: \text{cal} \cdot 4.184 \: \frac{\text{J}}{\text{cal}} = 23.4 \: \text{J} \]Ahora, hemos de pasar los grados Celsius a Kelvin:
\[ 100 ºC \equiv 373.15 \: \text{K} \]Así pues, el cambio en la entropía es:
\[ \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} = \frac{-23.4 \: \text{J}}{373.15 \: \text{K}} = 6.3 \cdot 10^{-2} \: \frac{\text{J}}{\text{K}} \]Calcular el trabajo neto de una máquina de Carnot que opera entre las temperaturas 500 ºC y 10 ºC si en cada ciclo absorbe 5 cal de calor del foco caliente.
El rendimiento de una máquina de Carnot es, según se ha comentado en el ejercicio 2:
\[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}\]Donde $T_1$ simboliza la temperatura del foco caliente y $T_2$ simboliza la temperatura del foco frío. Además, también sabemos que:
\[ \eta = \frac{W_{neto}}{Q_{absorbido}} \]Si igualamos las dos ecuaciones obtenemos que:
\[ W_{neto} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}\ \cdot Q_{absorbido} = \frac{\left(773.15 - 283.15\right) \: \text{K}}{773.15 \: \text{K}} \cdot 5 \: \text{J} = 3.2 \: \text{J} \]Calcular la variación de entropía de 2.5 moles de un gas ideal que experimenta una expansión isoterma de 4.5 a 12.6 L
En una expansión isoterma la entropía se calcula como sigue:
\[ \Delta S = nR \cdot \ln{\frac{V_f}{V_0}} \]Así, la variación de entropía es:
\[ \Delta S = 2.5 \: \text{mol} \cdot 8.314 \: \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \ln{\frac{12.6 \: \text{L}}{4.5 \: \text{L}}} = 21.4 \: \frac{\text{J}}{\text{K}} \]Calcular la variación de entropía de un mol de un gas ideal monoatómico en un proceso isostérico cuya temperatura aumenta de 30 a 60 °C. Datos. $C_V = 2 \frac{\text{cal}}{\text{mol} \cdot \text{K}}$.
Sabemos que en un proceso isócoro, la variación de entropía es igual a:
\[ \Delta S = n \cdot C_V \cdot \ln{\frac{T_f}{T_0}} \]Por tanto, sustituyendo obtenemos un $\Delta S$ de:
\[ \Delta S = 1 \: \text{mol} \cdot 2 \frac{\text{cal}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \ln{\frac{333.15 \: \text{K}}{303.15 \: \text{K}}} = 0.2 \: \frac{\text{J}}{\text{K}} \]La energía de ionización del hidrógeno es de 13.6 eV (electronvoltios). Calcular la temperatura de un gas para que la energía promedio de las partículas fuera igual a la de ionización del hidrógeno. Datos: $1 \text{eV} \equiv 1.602 \cdot 10^{-19} \: \text{J}$.
La energía cinética promedio de las partículas del H2 es:
\[ K = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \]Así, la temperatura en función de $K$ es:
\[ T = \frac{2}{3} \cdot \frac{K}{k_B} \]Sabemos que $13.6 \: \text{eV} \equiv 2.17 \cdot 10^{-18} \: \text{J}$ por lo que:
\[ T = \frac{2}{3} \cdot \frac{2.17 \cdot 10^{-18} \: \text{J}}{1.38 \cdot 10^{-23}\: \frac{\text{J}}{\text{K}}}= 1.05 \cdot 10^5 \: \text{K} \]Calcular la energía promedio en electronvoltios de las moléculas de un gas ideal monoatómico a la temperatura de 1000 °C.
La energía cinética promedio de las moléculas es igual a:
\[ K = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \]Así, sustituyendo:
\[ K = \frac{3}{2} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \: \frac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 1273.15 \: \text{K} = 2.6 \cdot 10^{-20} \: \text{J} \]