Calcula la derivada de la función $f(x) = x^2 \cdot e^{-2x} + \ln{(2x+1)}$.
Calculamos en primer lugar la derivada del producto $x^2 \cdot e^{-2x}$ siguiendo la regla del producto:
\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 \cdot e^{-2x}\right) = 2x \cdot e^{-2x} - x^2 \cdot 2e^{-2x} = 2x \cdot e^{-2x} \cdot \left(1-x \right) \]Además sabemos que la derivada del logaritmo neperiano es:
\[ \frac{d}{dx}\left(\ln{(2x+1)}\right) = \frac{2}{2x + 1} \]Por consiguiente, si sumamos ambas partes obtenemos que la derivada buscada es:
\[ \frac{df}{dx} = 2x \cdot e^{-2x} \cdot \left(1-x \right) + \frac{2}{2x + 1} \]Calcular la diferencial de la función de dos variables $f(x,y) = x^2 y + e^{-x} \cdot y^2$.
Para calcular el diferencial derivamos implícitamente:
\[ df = 2xy \cdot dx + x^2 \cdot dy - e^{-x} y^2 \cdot dx +2y \cdot e^{-x} dy \]Por lo que obtenemos la siguiente expresión:
\[ df = \left(2xy - e^{-x} y^2\right) \cdot dx + \left(x^2 + 2y \cdot e^{-x}\right) \cdot dy \]Calcula el trabajo realizado en un sistema químico durante una expansión isóbara a 1 atmósfera de presión si el gas ocupa inicialmente el volumen de 22.4 L y duplica su volumen.
Es conocido que el trabajo en un proceso isobaro viene dado por la caracterización siguiente:
\[ W =\int_{V_1}^{V_2}p \cdot dV= p \cdot \Delta V \]Donde $p$ es la presión (constante durante todo el proceso) y $\Delta V$ es el cambio de volumen. Así,si el volumen se duplica, el trabajo es:
\[ W = p \cdot \left(2V - V\right) = p \cdot V = 1 \: \text{atm} \cdot 22.4 \: \text{L} = 22.4 \: \text{J} \]Calcula el aumento de temperatura de 1 L de agua si su calor específico es constante ($1 \: \frac{\text{cal}}{\text{g} \cdot º\text{C}}$) y se realiza un trabajo adiabático de 5 J.
Sabemos, por el primer principio de la termodinámica, que:
\[ \Delta U = Q - W \label{eq:1} \tag{1} \]Si reescribimos $\eqref{eq:1}$para procesos adiabáticos:
\[ \Delta U =- W \]Asimismo, sabemos que:
\[ \Delta U =C_V \Delta T \]Por ende, uniendo estas dos ecuaciones, tenemos que:
\[ - W = C_V \Delta T \implies \Delta T = \frac{C_V}{-W} = \frac{1 \: \frac{\text{cal}}{\text{g} \cdot º\text{C}}}{5 \: \mathrm{J} \cdot \frac{1}{4.18}\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{J}}} \approx 0.8 \: º\text{C} \equiv 0.8 \: \text{K} \]Pues si se realiza trabajo sobre el sistema, este tiene signo positivo.
Calcula el trabajo realizado por la expansión de dos moles de un gas ideal en una expansión isoterma (T = 42 ºC) en la que la presión se reduce a la mitad.
Comenzamos caracterizando el trabajo en un proceso isotermo:
\[ W = nRT \cdot \ln{\frac{p_2}{p_1}} \label{eq:2} \tag{2} \]Así, sustituyendo en $\eqref{eq:2}$:
\[ W = 2 \: \text{mol} \cdot 8.314 \: \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}}\cdot 315.15 \: \text{K} \cdot \ln{\frac{1}{2}} = +3632.3 \: \text{J} \]Si consideramos el criterio de signos utilizado en la asignatura.
Si en un proceso termodinámico cíclico en la primera etapa se absorbe un calor equivalente a 4.56 cal y se realiza un trabajo sobre el sistema de 3 J, calcular el calor absorbido en la segunda etapa si el sistema realiza sobre los alrededores un trabajo de 2.1 J.
Sabemos que, en todo proceso cíclico la variación de energía interna es 0, por lo que $Q = W$.Así pues,
\[ Q_1 + Q_2 = W_1 + W_2 \implies Q_2 = W_1 + W_2 - Q_1 \]Si sustituimos, con los signos correspondientes, sabiendo que $1 \: \text{cal} \equiv 4.18 \: \text{J}$:
\[ Q_2 = W_1 + W_2 - Q_1 = -3 \: \text{J} + 2.1 \: \text{J} + 19.1 \: \text{J} = 18.2 \: \text{J} \]Calcular la variación de energía interna en un proceso isostérico en el que se absorben 45.4 cal.
Sabemos que $\Delta U = Q - W$. También sabemos que no hay trabajo si no hay cambio de volumen, por lo que la variación en la energía interna coincidirá con el calor. Así, en unidades del SI y sabiendo que: $1 \: \text{cal} \equiv 4.18 \: \text{J}$
\[ \Delta U = Q = +189.9 \: \text{J} \]Según el criterio utilizado en la actividad que nos ocupa.
En un proceso isotermo a 25 ºC un gas ideal, que ocupa inicialmente un volumen de 24 L, aumenta su presión de 1 atm a 3.5 atm. Calcular el volumen final que ocupará el gas.
Para resolver este problema utilizaremos la ley de Boyle-Mariotte. Dicha ley caracteriza los procesos que ocurren con gases ideales a temperatura constante. Su formulación es la siguiente:
\[ p \cdot V = k \] Así pues, podemos comparar las presiones y los volúmenes en dos estados 1 y 2 de la siguiente manera: \[ p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \tag{3} \label{eq:3} \]Despejamos $V_2$ de la ecuación $\eqref{eq:3}$:
\[ V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1}{p_2} \] Si sustituimos los datos, obtenemos un $V_2$ de: \[ V_2 = \frac{1 \: \text{atm} \cdot 24 \: \text{L}}{3.5 \: \text{atm}} \approx 6.86 \: \text{L} \equiv 6.86 \cdot 10^{-3} \: \text{m}^3 \]En una transformación isobárica la temperatura de un gas asciende de 25 °C a 100 °C. Calcular el volumen final del gas si inicialmente su volumen era 4 L.
Utilizamos la ley de Charles y Gay-Lusaac para resolver el problema.
\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \label{eq:4} \tag{4} \]Si despejamos $V_2$ de $\eqref{eq:4}$ obtenemos el $V_2$ siguiente, sabiendo que para pasar de grados Celsius a Kelvin hemos de sumar 273.15 a las temperaturas, siendo estas de $298.15 \: \mathrm{K}$ y $373.15 \: \mathrm{K}$ respectivamente. Así pues:
\[ V_2 = \frac{V_1 \cdot T_2}{T_1} = \frac{4 \: \mathrm{L} \cdot 373.15 \: \mathrm{K}}{298.15 \: \mathrm{K}} \approx 5 \: \mathrm{L} \equiv 5 \cdot 10^{-3} \: \text{m}^3 \]Calcular el volumen que ocupa un mol de un gas ideal a la presión atmosférica y a la temperatura ambiente de 25 °C.
Tenemos los datos de presión, temperatura y cantidad de sustancia, así que haremos uso de la ecuación de estado de los gases ideales para obtener el volumen.
En primer lugar, pasamos los grados Celsius a Kelvin sumando 273.15 y obteniendo un valor de $T = 298.15 K$.
\[ pV = nRT \label{eq:5} \tag{5} \]Despejando el volumen de $\eqref{eq:5}$ y sabiendo que $R = 0.082 \: \frac{\mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}}{\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}}$:
\[ V = \frac{nRT}{p} = \frac{1 \: \mathrm{mol} \cdot 0.082 \: \frac{\mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}}{\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}} \cdot 298.15 \: \mathrm{K}}{1 \: \mathrm{atm}} \approx 24.4 \: \mathrm{L} \equiv 2.44 \cdot 10^{-2} \: \text{m}^3 \]Calcular la variación de energía interna un gas ideal que se expande isotérmicamente a 20 °C, de un volumen inicial de 2 a 3.5 L. Calcular el calor absorbido (en calorías) sabiendo que la presión inicial es de 1 atm.
Al ser un proceso isotermo, la variación de energía interna es nula. Por ende, si $\Delta U = 0 \implies Q = W$.
El trabajo que tiene lugar en el proceso es igual a:
\[ W = nRT \cdot \ln{\frac{V_f}{V_o}} \label{eq:6} \tag{6} \]Podemos aplicar en este caso que, según $\eqref{eq:5}$:
\[ n = \frac{pV}{RT} = \frac{1 \: \text{atm} \cdot 2\: \text{L}}{0.082 \: \frac{\mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}}{\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}} \cdot 293.15 \: \mathrm{K}} = 0.083 \: \mathrm{mol} \]Así, reescribimos $\eqref{eq:6}$ en los siguientes términos:
\[ W = nRT \cdot \ln{\frac{V_f}{V_o}} = 0.083 \: \mathrm{mol} \cdot 1.987 \: \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}} \cdot 293.15 \: \mathrm{K} \cdot \ln\left({\frac{3.5 \: \text{L}}{2 \: \text{L}}}\right) = 27.12 \: \text{cal} \]Por ende, el calor absorbido será de 27.12 calorías.
Comparar la presión de un mol de nitrógeno molecular que ocupa un volumen de 2 L utilizando la ecuación de estado de Van der Waals y la ecuación de estado del gas ideal a la temperatura ambiente de 25 °C. Calcular también la temperatura de Boyle. Datos: a = 1.39 atm(L/mol)2, b = 0.0392 L/mol.
Conocemos dicha ecuación, según hemos escrito en $\eqref{eq:5}$. La aplicamos con las condiciones que tenemos en el problema.
\[pV = nRT \tag{5}\]Despejamos la presión, sabiendo que $25 \: º\text{C} \equiv 298.15 \: \text{K}$
\[ p = \frac{nRT}{V} = \frac{1 \: \mathrm{mol} \cdot 0.082 \: \frac{\mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}}{\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}} \cdot 298.15 \: \mathrm{K}}{2 \: \mathrm{L}} \approx 12.2 \: \mathrm{atm} \equiv 1.24 \cdot 10^6 \: \text{Pa} \]Utilizaremos la ecuación siguiente:
\[\left(p + \frac{an^2}{V^2}\right) \cdot \left(V - nb\right) = nRT\]Despejamos la presión, sabiendo que $25 \: º\text{C} \equiv 298.15 \: \text{K}$
\[ p = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2} = \frac{1 \: \mathrm{mol} \cdot 0.082 \: \frac{\mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}}{\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}} \cdot 298.15 \: \mathrm{K}}{2 \: \mathrm{L} - 1 \: \mathrm{mol} \cdot 0.0392 \: \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}}} - \frac{1.39 \: \mathrm{atm} \cdot \left(\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}}\right)^2 \cdot \left(1 \: \mathrm{mol}\right)^2}{\left(2 \: \mathrm{L}\right)^2}\approx 12.1 \: \mathrm{atm} \equiv 1.23 \cdot 10^6 \: \text{Pa} \]En lo que se refiere a la temperatura de Boyle, la calculamos con la siguiente ecuación:
\[ T_B = \frac{a}{Rb} = \frac{1.39 \: \mathrm{atm} \cdot \left(\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}}\right)^2}{0.082 \: \frac{\mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}}{\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}} \cdot 0.0392 \: \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}}} = 432.43 \: \text{K} \]