En la sesión de la asignatura de cálculo del día 17 de enero, el alumnado del Grado en Física tuvo la oportunidad de experimentar con la herramienta MATLAB, conociendo sus funcionalidades, así como sus aplicaciones en la asignatura. Se desarrollaron 4 ejemplos, que venimos a explicar a continuación.
El primer ejercicio propuesto consistía en realizar la gráfica de una función a trozos. Para ello, se propusieron 2 métodos.
El primer método consistió en forzar la creación de una tabla de valores mediante el comando linspace(i,f,n) o un array, declarándolo como x = i:p:f, siendo en ambos casos i el valor inicial, f el final, p el paso (diferencia entre dos valores consecutivos) y n el número de valores que se crean (por defecto 100) Así, se obtienen los valores de la variable independiente para cada trozo de función.
Una vez hecho esto, se declaran las funciones correspondientes a cada trozo. Un ejemplo es el siguiente: y2 = cos (x2 - pi/4).
Con esto realizado y con ayuda del comando plot(x,y), podemos representar las funciones, previa creación de un array en el que x cada uno de los intervalos e y, cada una de las imágenes de las funciones. He aquí una prueba de lo que obtenemos:
Por otra parte, podemos evitar que el programa una todo utilizando la misma rutina, pero haciendo referencia a cada trozo. Intercalamos el comando hold on para que quede todo dibujado en la misma ventana, obteniendo así la gráfica como cabría esperar.
El segundo ejercicio propuesto hacía uso de la caja de herramientas para cálculo simbólico (llamada en MATLAB Symbolic Toolbox). Este módulo del programa nos permite manipular las letras como variables, pudiendo crear ecuaciones y resolverlas, así como simplificar expresiones, derivarlas u obtener límites. Explicaremos los comandos utilizados en los párrafos venideros, para la resolución del tercer ejercicio.
En primer lugar, debemos advertir al programa qué letras queremos que entienda como simbólicas. Para esto utilizamos el comando syms seguido de la variable que nombramos como independiente. Una vez ejecutado este comando, declaramos la función normalmente (y = (x^2 + 2*x - 1)/x) y el programa la renderiza en fuente matemática. Con el comando ezplot podemos representar la función, dando un intervalo en concreto para la variable independiente, entre corchetes. Por ejemplo, escribiendo ezplot(y,[-10,10]) obtenemos la siguiente gráfica:
Como podemos ver, la función presenta una asíntota oblicua por cada lado. Caractericemos, pues dichas asíntotas con su recta. Obtenemos calculando la pendiente y la ordenada en el origen que la asíntota oblicua por la derecha es , al igual que por la izquierda. Así pues, dibujamos en una misma gráfica la asíntota y la función, en diferentes colores, con el código siguiente:
ezplot(y,[-10,10])
hold on
ezplot(yasin,[-10,10])
Siendo yasin la recta definida por la asintota oblicua (i.e. ).
Por otra parte, obtenemos, mediante límites, las asíntotas verticales mediante limit(y,x,0,'left') y limit(y,x,0,'right') para especificar los respectivos límites laterales. Obtenemos infinito y menos infinito, que vienen expresados con su símbolo al estar en el entorno Symbolic. Se utiliza la notación y .
En el último ejercicio, se ha procedido a hacer un estudio completo de la función y = x/(1+x^2). Comenzamos representando la gráfica con el comando ezplot(y,[-20,20]) y obtenemos el siguiente resultado:
Después, estudiamos los máximos y los mínimos de la función, calculando sus derivadas y simplificándolas mediante el comando y1 = simplify(diff(y)). Resolvemos y obtenemos los puntos críticos, y . A continuación, sustituimos los valores en la expresión de la segunda derivada (y2 = simplify(diff(y,2))) y obtenemos que el primer punto corresponde a un mínimo relativo y el segundo, a un máximo relativo. Para estudiar la curvatura, procedemos igual pero igualando esta vez la segunda derivada a 0. Obtenemos los posibles puntos singulares de la función y, por tanto los intervalos que debemos mirar. Así, sustituimos, mediante el comando subs un valor que pertenezca a los intervalos y vemos el signo. Sabemos que si el resultado es positivo, la función es cóncava en el intervalo. En caso contrario, será convexa.